Hegarty et al. (1995). Compréhension des problèmes arithmétiques : une comparaison des bons et mauvais résolveurs.

Pourquoi y a-t-il une dichotomie aussi grande entre matheux et non-matheux ? Un début de réponse est donné dans cet article, qui nous explique que la représentation mentale d’un problème mathématique est différente entre matheux et non-matheux. Les mauvais résolveurs de problèmes, autrement dit les mauvais matheux, se basent plus sur les nombres et les mots clés tirés directement de l’énoncé, tandis que les bons matheux prennent du recul et construisent un modèle mental du problème posé.

Deux stratégies de résolution
Les auteurs ont fait résoudre des problèmes arithmétiques à des étudiants, de deux sortes : consistants et inconsistants. Ce que ça veut dire, c’est tout simplement que pour les problèmes consistants, il y avait un mot amorçant une opération (plus / moins) qui était la même que celle à effectuer pour trouver la bonne réponse (“un livre coûte 3€ à la Fnac, il coûte 50cts moins cher chez Gibert, combien coûteront 5 livres chez Gibert ?”). Les problèmes inconsistants amorçaient l’opération inverse de celle à réaliser (“un livre coûte 3€ à la Fnac, c’est 50cts de plus que chez Gibert, combien coûteront 5 livres chez Gibert ?”). Bien entendu, les problèmes inconsistants étaient plus difficiles à réaliser.

Ils ont ensuite postulé 2 stratégies différentes de résolution de problème, expliquant les différences entre bons et mauvais matheux par l’utilisation de telle ou telle stratégie : 

• Stratégie de transcription directe : où les étudiants se basent sur les chiffres et les mots comme “plus” et “moins” sans les intégrer dans un modèle interne. Dans le cas d’un problème inconsistant, ils seront donc plus aptes à faire des erreurs. 
• Stratégie de modélisation du problème : où les étudiants construisent un modèle à partir des noms de variables (Gibert, Fnac), associés aux chiffres correspondants. Dans le cas d’un problème inconsistant, ils n’ont pas plus de problèmes à le résoudre, car ils ont construit un modèle indépendant des mots précis de l’énoncé, mais plus centré sur la variable. Cela demande plus de capacités de mémoire de travail, mais cela fait plus sens.

Gardons néanmoins toujours en tête que ce qui est étudié ici est juste la compréhension du problème, et la manière dont on « lit » les problèmes mathématiques, et on ne tient pas compte des habiletés utiles par ailleurs au calcul, à la logique, etc. Mais les observations montrent que c’est bien dans la phase de représentation du problème que l’on a des problèmes, et moins dans la réalisation des calculs.

Etapes de compréhension d’un problème arithmétique 

• Etape 1 : compréhension et intégration de chaque information du texte. Ici, on lit l’énoncé, et on active les représentations qu’on a déjà en mémoire (faire des opérations, faire des équivalences, etc.). On essaye de relier ce qu’on sait à ce qu’on lit, en réactivant la représentation qu’on a du problème à chaque nouvelle information lue. 
• Etape 2 : construction d’une représentation mathématique. Dans la stratégie de transcription directe, on va juste sélectionner les nombres et les mots-clés. Dans la stratégie de modélisation du problème, on va construire un vrai modèle basé sur des variables liées à leurs valeurs (dans une sorte de matrice mentale). C'est à cette étape que se joue la différence de stratégie.
• Etape 3 : plannifier la solution. Il s'agit là de déterminer les calculs à effectuer pour trouver la solution. Ceux qui ont une mauvaise représentation du problème suite à l'étape 2 seront sensibles à l'inconsistance de l'énoncé dans la réalisation du problème.

La stratégie de modélisation : représentation globale qui mène à une meilleure compréhension des problèmes ; La stratégie de transcription directe : représentation des détails qui amène à des erreurs
Est-ce que ceux qui réussissent à résoudre le problème et ceux qui ne réussissent pas utilisent vraiment des stratégies différentes ? (comme expliqué jusque là) On peut dire que OUI, étant donné les résultats de l'expérience 1, qui analysait les mouvements oculaires. On observe en effet que ceux qui réussissent moins bien fixent proportionnellement plus les nombre et les mots de relation que les noms de variables. Il y a moins de retour fait par ceux qui réussissent, mais c'est normal, étant donné qu'ils comprennent mieux l'énoncé, l'important est que pendant ces retours, il faut une proportion plus importante de regards vers les noms de variables que les chiffres pour construire un modèle mental du problème. Si on se concentre sur les chiffres, on n'y arrive moins. On peut voir cela sur le graphique ci-contre, où on remarquera la moins grande différence entre les deux valeurs des barres blanches par rapport à la différence entre les barres noires.

Est-ce que les élèves ont pu corriger leurs stratégies tout seuls au cours des exercices ? NON. Il faut pour pouvoir faire changer la stratégie de quelqu'un un tuteur qui lui fasse changer le pattern de résolution d'un problème.

Est-ce qu'il y a une différence de mise en mémoire du problème entre ceux qui réussissent et ceux qui échouent ? OUI. En effet, avec un test dans lequel on demandait aux participants, quelques jours plus tard, de rappeler ce qu'ils avaient eu à résoudre comme problèmes, ou au moins à les reconnaitre, on voit que ceux qui ont eu une stratégie de transcription directe (ceux qui ont fait plus d'erreurs) se rappellent plus des mots précis, mais pas des relations entre eux (si un tel vaut plus qu'un autre, ou inversement), alors que ceux qui ont eu une stratégie de modélisation du problème se rappellent moins des valeurs exactes, mais se rappellent de quelle valeur est plus élevée qu'une autre.
On peut donc dire que ceux qui ont construit un modèle fonctionne de manière plus globale, alors que ceux qui ont fait une transcription directe se sont attardés sur les détails. (De là l'explication que les garçons soient meilleurs en math que les filles ? A réfléchir...)

Quoiqu'il en soit, l'éducation a besoin de prendre en compte que tous les étudiants n'arrivent pas à se représenter le problème sous forme de variables auxquelles assigner des valeurs, et il faut les y aider, grâce à un tuteur ou un enseignant, qui devra se focaliser sur cet aspect là plus que sur la réalisation de calculs... Le tout est de bien comprendre le problème, pas de “sélectionner les informations pertinentes”, comme on l'entend souvent en cours de mathématiques.

Bien sûr, libre à vous d'aller plus loin dans l'interprétation de cette recherche et de vous demander si ce qui marche pour les problèmes mathématiques peut fonctionner sur les problèmes de la vie quotidienne. Personnellement, je suis convaincu qu'utiliser une construction d'un modèle du problème, détaché des détails, aide beaucoup à régler toute sorte de problèmes quotidiens...


Source : Hegarty, M., Mayer, M.E. & Monk, C.A (1995). Comprehension of Arithmetic Word Problems: A Comparison of Successful and Unsuccessful Problem Solvers. Journal of Educational Psychology, 87, 18-32.